Аннотация:
Вводится понятие суммируемой фрактальной кривой
(порожденной конечным семейством аффинных операторов), которое обобщает
известные понятия аффинных фракталов и непрерывных фрактальных
кривых на случай несжимающих операторов. Доказаны критерий
существования фрактальной кривой у данного семейства операторов и критерии ее принадлежности различным пространствам функций.
Получены формулы для показателей гладкости в этих пространствах, а также асимптотически точные оценки на модули непрерывности.
Данные результаты применены к исследованию известных
кривых (Кох, де Рама и т. д.), масштабирующих функций и всплесков.
Исследуется локальное поведение непрерывных фрактальных кривых. Получена
формула для показателя локальной гладкости в произвольной точке и охарактеризованы множества точек с заданной локальной гладкостью.
Показано, что для любой фрактальной кривой значения ее локальной гладкости
заполняют определенный отрезок. Однако почти во всех точках (в мере
Лебега) гладкость одна и та же и вычисляется с помощью показателя Ляпунова
данных операторов.
Разработанная техника применяется к исследованию масштабирующих функций и всплесков с компактным носителем. В качестве примера вычислены модули
непрерывности некоторых всплесков Добеши, показатели их локальной
гладкости и гладкости в пространствах $L_p$.
Библиография: 47 наименований.