Полиномиальные и рациональные приближения функций многих переменных с выпуклыми производными в метриках $L_p$ $(0<p\leqslant\infty)$

Пусть $\operatorname{Conv}_n^{(l)}(\mathcal G)$ – множество всех функций $f$, для которых при каждом $n$-мерном единичном векторе $\mathbf e$ производная $l$-го порядка по направлению $\mathbf e$, $D^{(l)}(\mathbf e)f$, непрерывна на выпуклой ограниченной области $\mathcal G\subset\mathbf R^n$ $(n\geqslant 2)$ и выпукла (вверх или вниз) на непустом пересечении каждой прямой $L\subset\mathbf R^n$ с областью $\mathcal G$, и пусть $M^{(l)}(f,\mathcal G)\colon=\sup\{\|D^{(l)}(\mathbf e)f\|_{C(\mathcal G)}\colon\mathbf e\in \mathbf R^n$, $\|\mathbf e\|=1\}<\infty$.
В работе получены точные в смысле порядка малости оценки наилучших совместных полиномиальных приближений функций $f\in\operatorname{Conv}_n^{(l)}(\mathcal G)$, для которых $D^{(l)}(\mathbf e)f\in\operatorname{Lip}_K1$ для каждого $\mathbf e$, и их производных в метриках $L_p(\mathcal G)$ $(0<p\leqslant\infty)$. Доказаны сохранение соответствующей части этих оценок для наилучших рациональных приближений на любом $n$-мерном параллелепипеде $\mathcal Q$ функций $f\in\operatorname{Conv}_n^{(l)}(\mathcal Q)$ в метриках $L_p(\mathcal Q)$ $(0<p<\infty)$ и показаны их точность в смысле порядка малости при $0<p\leqslant 1$.