Интегралы от бесселевских процессов и многомерные процессы Орнштейна–Уленбека: точные асимптотики для $L^p$-функционалов
В. Р. Фаталов Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Аннотация:
Для
$p>0$,
$a \geqslant 0$,
$b \geqslant 0$ доказаны результаты о точных асимптотиках при
$T \to \infty$ средних $\mathbf{E}_a \exp \bigl(-\int_0^T \xi_q^p(t) \, dt \bigr)$, $\mathbf{E}_a \bigl[ \exp \bigl(-\int_0^T \xi_q^p(t) \, dt \bigr) \bigm| \xi_q(T)=b \bigr]$, где
$\xi_q(t)$,
$t \geqslant 0$, – бесселевский процесс порядка
$q \geqslant-1/2$. Найдены также точные асимптотики при
$\varepsilon \to 0$ вероятностей $\mathbf{P} \bigl\{ \int_0^1 \sum_{k=1}^n |Y_k(t)|^p \, dt \leqslant\varepsilon^p \bigr\}$, $\mathbf{P} \bigl\{ \int_0^1 \bigl[ \sum_{k=1}^n Y_k^2(t) \bigr]^{p/2} \, dt \leqslant\varepsilon^p \bigr\}$, где
$\mathbf{Y}(t)=(Y_1(t),\dots, Y_n(t))$,
$t \geqslant 0$, –
$n$-мерный нестационарный процесс Орнштейна–Уленбека с параметром
$\gamma=(\gamma_1, \dots, \gamma_n)$, выходящий из нуля. Получен также ряд иных результатов. Численные значения для асимптотик приведены в случаях
$p=1$,
$p=2$.
Библиография: 48 наименований.
Ключевые слова:
бесселевские процессы, формула Фейнмана–Каца, многомерный винеровский процесс, теорема Гирсанова, малые уклонения, оператор Шрёдингера, функция Эйри, функции Бесселя.
УДК:
519.21
MSC: 60F25,
60J25 Поступило в редакцию: 21.05.2016
Исправленный вариант: 12.08.2016
DOI:
10.4213/im8575