Эта публикация цитируется в
11 статьях
Деление на 2 в гиперэллиптических кривых нечетной степени и их якобианах
Ю. Г. Зархин Pennsylvania State University, Department of Mathematics, PA, USA
Аннотация:
Пусть
$K$ – алгебраически замкнутое поле характеристики, отличной от
$2$,
$g$ – натуральное число,
$f(x)$ – многочлен степени
$(2g+1)$ с коэффициентами в
$K$ и без кратных корней,
$\mathcal{C}\colon y^2=f(x)$ – соответствующая гиперэллиптическая кривая рода
$g$ над
$K$, а
$J$ – ее якобиан. Мы отождествляем
$\mathcal{C}$ с ее образом при каноническом вложении в якобиан
$J$ (при котором единственная бесконечная точка кривой
$\mathcal{C}$ переходит в ноль группового закона на
$J$).
Хорошо известно, что для каждой точки
$\mathfrak{b} \in J(K)$ найдется ровно
$2^{2g}$ элемента
$\mathfrak{a}\in J(K)$ таких, что
$2\mathfrak{a}=\mathfrak{b}$. М. Штоль построил
алгоритм, позволяющий найти представления Мамфорда всех таких
$\mathfrak{a}$, если известно представление Мамфорда точки
$\mathfrak{b}$. Цель настоящей работы – дать
явные формулы в терминах координат
$a,b$ для представлений Мамфорда всех таких
$\mathfrak{a}$, когда
$\mathfrak{b}\in J(K)$ совпадает с точкой нашей кривой
$P=(a,b) \in \mathcal{C}(K)\subset J(K)$. Мы также доказываем, что если
$g>1$, то
$\mathcal{C}(K)$ не содержит точек кручения, порядок которых лежит между
$3$ и
$2g$.
Библиография: 14 наименований.
Ключевые слова:
гиперэллиптические кривые, точки Вейерштрасса, якобианы, точки кручения.
УДК:
512.742+
512.772
MSC: 14H40,
14G27,
11G10 Поступило в редакцию: 16.02.2018
Исправленный вариант: 09.10.2018
DOI:
10.4213/im8773