RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Известия Российской академии наук. Серия математическая // Архив

Изв. РАН. Сер. матем., 2019, том 83, выпуск 3, страницы 93–112 (Mi im8773)

Эта публикация цитируется в 10 статьях

Деление на 2 в гиперэллиптических кривых нечетной степени и их якобианах

Ю. Г. Зархин

Pennsylvania State University, Department of Mathematics, PA, USA

Аннотация: Пусть $K$ – алгебраически замкнутое поле характеристики, отличной от $2$, $g$ – натуральное число, $f(x)$ – многочлен степени $(2g+1)$ с коэффициентами в $K$ и без кратных корней, $\mathcal{C}\colon y^2=f(x)$ – соответствующая гиперэллиптическая кривая рода $g$ над $K$, а $J$ – ее якобиан. Мы отождествляем $\mathcal{C}$ с ее образом при каноническом вложении в якобиан $J$ (при котором единственная бесконечная точка кривой $\mathcal{C}$ переходит в ноль группового закона на $J$). Хорошо известно, что для каждой точки $\mathfrak{b} \in J(K)$ найдется ровно $2^{2g}$ элемента $\mathfrak{a}\in J(K)$ таких, что $2\mathfrak{a}=\mathfrak{b}$. М. Штоль построил алгоритм, позволяющий найти представления Мамфорда всех таких $\mathfrak{a}$, если известно представление Мамфорда точки $\mathfrak{b}$. Цель настоящей работы – дать явные формулы в терминах координат $a,b$ для представлений Мамфорда всех таких $\mathfrak{a}$, когда $\mathfrak{b}\in J(K)$ совпадает с точкой нашей кривой $P=(a,b) \in \mathcal{C}(K)\subset J(K)$. Мы также доказываем, что если $g>1$, то $\mathcal{C}(K)$ не содержит точек кручения, порядок которых лежит между $3$ и $2g$.
Библиография: 14 наименований.

Ключевые слова: гиперэллиптические кривые, точки Вейерштрасса, якобианы, точки кручения.

УДК: 512.742+512.772

MSC: 14H40, 14G27, 11G10

Поступило в редакцию: 16.02.2018
Исправленный вариант: 09.10.2018

DOI: 10.4213/im8773


 Англоязычная версия: Izvestiya: Mathematics, 2019, 83:3, 501–520

Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024