О приближениях гармоническими полиномами в $C^1$-норме на компактах в $\mathbf R^2$

Доказывается, что для произвольного компакта $X$ в $\mathbf R^2$ следующие условия эквиваленты:
1) для всякой функции $f\in C^1(\mathbf R^2)$, гармонической на $X^0$, и для любого $\varepsilon>0$ найдется гармонический полином $p$ такой, что
$$ \|f-p\|_X<\varepsilon,\qquad \|\nabla(f-p)\|_X<\varepsilon; $$
2) множество $\mathbf R^2\setminus X$ связно.