Дискретные симметрии уравнений динамики с полиномиальными интегралами высших степеней
В. В. Козлов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Аннотация:
Рассматриваются системы с торическим конфигурационным пространством и кинетической энергией в виде “плоской” римановой метрики на торе. Потенциальная энергия
$V$ – гладкая функция на конфигурационном торе. Динамика таких систем описывается “натуральными” гамильтоновыми системами дифференциальных уравнений. Если заменить
$V$ на
$\varepsilon V$, где
$\varepsilon$ – малый параметр, то исследование таких гамильтоновых систем при малых значениях
$\varepsilon$ относится к “основной проблеме динамики” по Пуанкаре. Обсуждается известная гипотеза об однозначных полиномиальных по импульсам интегралах уравнений движения: если имеется полиномиальный по импульсам интеграл степени
$m$, то обязательно найдется линейный или квадратичный по импульсам первый интеграл. Эта гипотеза полностью доказана для
$m=3$ и
$m=4$. Обсуждаются случаи “высших” степеней, когда
$m=5$ и
$m=6$. Следуя теории возмущений гамильтоновых систем, вводятся резонансные прямые на плоскости импульсов. Если система допускает полиномиальный интеграл, то число этих прямых конечно. Найдены симметрии множества резонансных прямых, что дает, в частности, необходимые условия интегрируемости. Получены некоторые новые критерии существования однозначных полиномиальных интегралов.
Библиография: 11 наименований.
Ключевые слова:
конфигурационный тор, гамильтонова система, спектр, резонансные прямые, полиномиальные интегралы.
УДК:
512.77+
517.912+
517.958
MSC: 70H05,
37J35 Поступило в редакцию: 13.05.2022
DOI:
10.4213/im9378