Статистические структуры на многообразиях и их погружения

Важным примером структур информационной геометрии является статистическая структура. Это заданная на гладком многообразии $M$ риманова метрика $g$ с вполне симметрическим тензорным полем $K$ типа $(2,1)$. На многообразии, снабженном статистической структурой $(g,K)$, инвариантно определяется однопараметрическое семейство $\alpha$-связностей $\nabla^{\alpha}=D+\alpha\cdot K$, где $D$ — связность Леви-Чивиты метрики $g$, $\alpha$ — параметр. В работе охарактеризованы сопряженно симметрические статистические структуры и их частный случай — структуры постоянной $\alpha$-кривизны. В качестве примера приведено описание структуры с $\alpha$-связностью постоянной кривизны на двумерной статистической модели Парето. Показано, что двумерная логистическая модель имеет $2$-связность постоянной отрицательной кривизны, а двумерная модель Вейбулла—Гнеденко — $1$-связность постоянной положительной кривизны. При этом обе модели несут сопряженно симметрические статистические структуры. Для случая многообразия $\widehat{M}$ линейной связности $\widehat{\nabla}$ без кручения, погруженного в риманово многообразие со статистической структурой $(g,K)$, получен критерий того, что на прообразе индуцируется статистическая структура с подходящей $\widehat{\alpha}$-связностью $\widehat{\nabla}$.