Применение функций Лагерра для приближенного вычисления функции Грина дифференциального уравнения второго порядка
В. Г. Курбатов,
Е. Д. Хороших,
В. Ю. Чурсин Воронежский государственный университет
Аннотация:
Рассматривается уравнение
$\ddot x(t)=Ax(t)+f(t)$,
$t\in\mathbb{R}$, с матричным коэффициентом
$A$. Это уравнение имеет единственное ограниченное на
$\mathbb{R}$ решение
$x$ при любом непрерывном ограниченном свободном члене
$f$ тогда и только тогда, когда спектр матрицы
$A$ не пересекает полуось
$\mathbb{R}_-=\{z\in\mathbb{R}: z\le0\}$. Решение
$x$ при этом задается формулой
\begin{equation*}
x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}G(t-s)f(s)\,ds, \quad
G(t)=-\frac12 e^{-\sqrt{A}|t|}(\sqrt{A})^{-1}.
\end{equation*}
Обсуждается задача приближенного нахождения функции Грина
$G(t)$ с помощью разложения её в ряд Лагерра. Подбирается значение параметра масштабирования
$\tau$ многочленов Лагерра, обеспечивающее наибольшую точность.
Ключевые слова:
многочлены Лагерра, ортогональные ряды, функция Грина, задача об ограниченных решениях, оптимизация, параметр масштабирования
УДК:
517.587,
519.622
MSC: 65F60,
33C45,
97N50
DOI:
10.36535/2782-4438-2024-235-57-67