Инд-многообразия обобщенных флагов: обзор результатов

Работа представляет собой обзор результатов, касающихся структуры однородных инд-многообразий $G/P$ инд-групп $G=GL_{\infty}(\mathbb{C})$, $SL_{\infty}(\mathbb{C})$, $SO_{\infty}(\mathbb{C})$, $Sp_{\infty}(\mathbb{C})$, подчиненных тому условию, что $G/P$ является индуктивным пределом компактных однородных пространств $G_n/P_n$. В этом случае подгруппа $P\subset G$ является разложимой параболической подгруппой группы $G$, а инд-многообразие $G/P$ допускает “флаговую реализацию”. Вместо обычных флагов здесь нужно рассматривать обобщенные флаги — бесконечные, вообще говоря, цепи $\mathcal{C}$ подпространств естественного представления $V$ группы $G$, удовлетворяющие некоторому условию: грубо говоря, для каждого ненулевого вектора $v$ из $V$ должны найтись наибольшее пространство в $\mathcal{C}$, не содержащее $v$, и наименьшее подпространство в $\mathcal{C}$, содержащее $v$. Мы начинаем с обзора конструкции инд-многообразий обобщенных флагов, а затем показываем, что эти инд-многообразия являются однородными инд- пространствами вида $G/P$ для расщепляющих параболических инд-подгрупп $P\subset G$. Мы также кратко описываем характеризацию более общих, т.е. нерасщепляющих, параболических инд-подгрупп в терминах обобщенных флагов. В частном случае инд-грассманиана $X$ мы приводим чисто алгеброгеометрическое построение инд-многообразия $X$. Кроме того, обсуждаются такие темы, как теорема Ботта—Бореля—Вейля для инд-многообразий обобщенных флагов, конечномерные векторные расслоения на инд-многообразиях обобщенных флагов, разложение Шуберта инд-многообразия $G/P$ для произвольной расщепляющей параболической инд-подгруппы $P\subset G$, а также орбиты вещественных форм на $G/P$ для $G=SL_{\infty}(\mathbb{C})$.