Минимальное условие проективности гладкого отображения и проблема Гронуолла

Доказано следующее утверждение: пусть $GW$ и $\widetilde {GW}$ — грассмановы три-ткани, заданные соответственно в областях $D$ и $\tilde D$ грассманова многообразия прямых проективного пространства $P^{r+1}$; $\Phi: D\rightarrow \tilde D$ — локальный диффеоморфизм, переводящий слоения ткани $GW$ в слоения три-ткани $\widetilde {GW}$. Тогда $\Phi$ переводит связки прямых в связки прямых, т.е. индуцирует точечное преобразование, которое является проективным преобразованием. В случае $r=1$ доказательство существенно сложнее, чем в многомерном случае. В случае $r=1$ двойственная теорема формулируется следующим образом: пусть $LW$ — прямолинейная три-ткань на плоскости, т.е. три семейства прямых общего положения, и пусть эта ткань не является регулярной, т.е. не является локально диффеоморфной три-ткани, образованной тремя семействами параллельных прямых. Тогда всякий локальный диффеоморфизм, переводящий три-ткань $LW$ в другую прямолинейную три-ткань $\widetilde{LW}$, является проективным преобразованием. Как следствие, отсюда получается положительное решение проблемы Гронуолла (Gronwall, 1912): если $W$ — линеаризуемая нерегулярная три-ткань, $\theta$ и $\tilde{\theta}$ — локальные диффеоморфизмы, отображающие три-ткань $W$ на некоторые прямолинейные три-ткани, то $\tilde{\theta}=\pi \circ \theta$, где $\pi$ — проективное преобразование.