Об одной асимптотической задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с нелинейностью, соответствующей катастрофе типа «бабочка»

Для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка ${u''_{xx}=u^5-t u^3-x}$ доказаны существование и единственность строго возрастающего решения, удовлетворяющего начальному условию и предельному условию на бесконечности, график которого проходит между линией тождественного нуля и непрерывной линией корня конечного уравнения ${u^5-tu^3-x=0}$. Найдена равномерная на луче ${t\in(-\infty,-M^t)}$ асимптотика такого решения при ${x\to+\infty}$; отдельно построены асимптотики на луче ${s>M^s}$ и на отрезке ${0\leq s\leq M^s}$, где ${s=|t|^{-5/2}x}$ — переменная, сжатая по отношению к $x$. При помощи метода согласования асимптотических разложений построено составное асимптотическое разложение решения задачи Коши, начальные условия которой находятся из теоремы существования решения исходной задачи. Наконец, построено равномерное асимптотическое разложение при ${x^2+t^2\to\infty}$ и ограничении ${t\leq 0}$.