Расходящиеся ряды и смешанная задача для волнового уравнения со свободными концами

Для смешанной задачи с однородным волновым уравнением с суммируемым потенциалом, со свободными концами и нулевой начальной скоростью получены необходимые и достаточные условия существования классического решения и обобщенное решение для суммируемой начальной функции. Использование в методе Фурье резольвентного подхода, рекомендаций А. Н. Крылова по ускорению сходимости рядов Фурье, а также важных идей Эйлера о применении расходящихся рядов позволяет получить для классического решения обобщение формулы Даламбера в виде равномерно сходящегося ряда, каждый член которого есть решение соответствующей смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения с нулевым потенциалом со свободными концами и нулевыми начальными данными. Этот ряд сходится и в случае, когда начальная функция суммируема, и потому в этом случае является обобщенным решением смешанной задачи.