Цепная дробь неоднородной линейной формы

Пусть $\alpha$, $\beta$ вещественные числа $0\le\alpha<1$, $0\le\beta<1$, задающие на плоскости $(y,z)\in\mathbb R^2$ неоднородную линейную форму $L_{\alpha,\beta}(y,z)=-\beta+\alpha y+z$. В работе предложен алгоритм разложения линейной формы в «неоднородную цепную дробь»
$$ L_{\alpha,\beta}\sim[0;b_1,b_2,\dots]\,\mathrm{mod}\,[0;a_1,a_2,\dots]. $$
Неоднородная цепная дробь обобщает классическую (правильную) цепную дробь: при $\beta=0$ все $b_n=0$ и мы получаем разложение в цепную дробь числа $\alpha$: $L_{\alpha,0}\sim[0]\,\mathrm{mod}\,[0;a_1,a_2,\dots]$. Доказаны некоторые свойства неоднородных цепных дробей.