Структура многомерных диофантовых приближений

Пусть в $n$-мерном вещественном пространстве $R$ заданы $l$ линейных и $k$ квадратичных форм, $n= l + 2k$. Модули этих форм задают отображение пространства $R$ в положительный ортант $S_+$ $m$-мерного вещественного пространства $S$, $m = l + k$. При этом целочисленная решетка в $R$ отображается в некоторое множество $\boldsymbol Z \subset S_+$. Замыкание выпуклой оболочки $\boldsymbol G$ множества $\boldsymbol Z\setminus 0$ является многогранным множеством. Целочисленные точки из $R$, отображающиеся на границу $\partial\boldsymbol G$ многогранника $\boldsymbol G$, дают наилучшие диофантовы приближения к совокупности корневых подпространств $m$ заданных форм. В алгебраическом случае, когда заданные формы определенным образом связаны с корнями многочлена степени $n$, доказывается, что многогранник $\boldsymbol G$ имеет $m-1$ независимый период. Это обобщение теоремы Лагранжа о периодичности цепной дроби квадратичной иррациональности.