Power geometry and expansions of solutions to the Painlevé equations

Рассматриваются сложные и экзотические асимптотические разложения решений полиномиального обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). Это такие ряды по целым степеням независимой переменной, коэффициенты которых суть ряды Лорана от логарифма этой переменной и еë чисто мнимой степени соответственно. Предлагается алгоритм составления ОДУ для этих коэффициентов. Первый коэффициент является решением укороченного уравнения. Для некоторых исходных уравнений он является многочленом. Спрашивается: будут ли многочленами следующие коэффициенты? Здесь этот вопрос изучается для третьего, пятого и шестого уравнений Пенлеве. Оказалось, что в шести из восьми семейств сложных разложений и в двух из четырëх семейств экзотических разложений вторые коэффициенты — многочлены. Но в четырëх оставшихся семействах коэффициенты являются многочленами только при определëнных условиях. Здесь дан обзор этих результатов.