Периодические решения дифференциального уравнения второго порядка с большим параметром

Рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее большой параметр. Такое уравнение можно интерпретировать как уравнение вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы в случае, когда собственная частота системы намного больше внешней частоты. Приводится новый способ доказательства существования периодического решения этого уравнения, близкого периодическому решению соответствующего вырожденного уравнения. Первоначальное доказательство, полученное ранее одним из авторов статьи, сводилось к решению системы интегральных уравнений, построенной с использованием функции Грина периодической краевой задачи для линеаризованного и преобразованного исходного уравнения. Такой способ доказательства был предложен Лихтенштейном и является альтернативой способу Пуанкаре, основанному на применении теоремы о неявной функции. В случае сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений способ Лихтенштейна — более экономный. Тем не менее, интересно посмотреть, как можно применить способ Пуанкаре в сингулярно возмущенной задаче. Приводимое ниже доказательство получено способом Пуанкаре.