Управление качением динамически симметричного шара по наклонной вращающейся плоскости

В работе исследуется динамика качения динамически симметричного тяжелого шара (или тяжелой сферической оболочки) по наклонной шероховатой плоскости (платформе), вращающейся с постоянной или периодической скоростью вокруг перпендикулярной к плоскости оси, проходящей через некоторую фиксированную точку этой плоскости. В точке контакта шара с опорной плоскостью наложены кинематические (неголономные и голономные) ограничения. Построены уравнения движения шара и доказана ограниченность квадрата вектора скорости геометрического центра шара в случае постоянной скорости вращения плоскости при любом угле наклона и в случае периодической скорости вращения плоскости, расположенной горизонтально. Причем в случае постоянной скорости вращения плоскости решения найдены аналитически. На основе численного интегрирования показано, что для периодической скорости вращения плоскости и угле наклона, отличном от нуля, квадрат вектора скорости геометрического центра шара неограниченно возрастает. Предложены два управления углом наклона вращающейся плоскости пропорционально проекциям вектора скорости геометрического центра шара на координатные оси, лежащие в опорной плоскости. Для случая постоянной скорости вращения плоскости проведено качественное исследование уравнений движения, аналитически найдены параметры управления, при которых квадрат скорости геометрического центра шара будет ограничен и при которых будет неограниченно возрастать. Приведены результаты численного интегрирования для случая периодической скорости вращения плоскости и показана эффективность этого управления в контексте достижения ограниченности квадрата скорости геометрического центра шара. Полученные результаты проиллюстрированы, построены траектории точки контакта и графики искомых механических параметров.