Полуаналитическая аппроксимация нормальной производной теплового потенциала простого слоя вблизи границы двумерной области

Предлагается полуаналитическая аппроксимация нормальной производной теплового потенциала простого слоя вблизи границы двумерной области с гладкостью $C^{5} $. Вычисление интегралов, возникающих после кусочно-квадратичной интерполяции функции плотности по переменной длины дуги $s$, осуществляется c помощью аналитического интегрирования по переменной $\rho =\sqrt{r^{2} -d^{2} } $, где $r$ и $d$  — расстояния от точки наблюдения до точки интегрирования и до границы области соответственно. Для этого подынтегральная функция представляется в виде суммы двух произведений, каждое из которых состоит из двух множителей, а именно: гладкой в приграничной области функции, содержащей якобиан перехода от переменной интегрирования $s$ к переменной $\rho $, и весовой функции, содержащей особенность при $r=0$ и равномерно абсолютно интегрируемой в приграничной области. Гладкие функции аппроксимируются с помощью кусочно-квадратичной интерполяции по переменной $\rho $, и тогда аналитическое интегрирование становится возможно. Аналитическое интегрирование по $\rho $ осуществляется на фиксированном по ширине участке границы, содержащем проекцию точки наблюдения, а на остальной части границы интегралы по $s$ вычисляются с помощью формул Гаусса. Интегрирование по параметру $C_{0}$-полугруппы, образованной операторами сдвига по времени, также осуществляется аналитически. Для этого $C_{0}$-полугруппа аппроксимируется с помощью кусочно-квадратичной интерполяции по ее параметру. Доказано, что предлагаемые аппроксимации обладают устойчивой кубической сходимостью в банаховом пространстве непрерывных функций с равномерной нормой, причем такая сходимость равномерна в замкнутой приграничной области. Приведены результаты вычислительных экспериментов по нахождению нормальной производной решений второй начально-краевой задачи теплопроводности в единичном круге с нулевым начальным условием, подтверждающие равномерную кубическую сходимость предлагаемых аппроксимаций нормальной производной теплового потенциала простого слоя.