Построение и анализ нелинейных форм колебаний трехзвенного маятника асимптотическими методами

Статья посвящена изучению нелинейных колебаний одной из наиболее часто встречающихся систем с тремя степенями свободы  — трехзвенного математического маятника, параметры всех невесомых звеньев и всех концевых грузов которого полагаются идентичными. Обсуждается широкое применение модели трехзвенного маятника в прикладных задачах робототехники и биомеханики, а также ее важное научное значение в задачах устойчивости равновесия, стабилизации и управления движением. Рассматривается вопрос о нахождении нелинейных форм колебаний трехзвенного маятника, знание которых позволяет осуществлять одночастотные режимы его движения при достаточно больших отклонениях. Для этой цели используются асимптотические методы нелинейной механики, которые дают возможность определить формы колебаний системы в первом приближении в рамках слабо-нелинейной модели. Обсуждаются основные особенности построенных нелинейных форм колебаний и выявляются их качественные и количественные отличия от традиционных линейных форм малых колебаний. Помимо этого, отмечается, что нелинейные формы колебаний могут быть найдены и на основе численного моделирования при помощи разгона системы под действием коллинеарного управления с малых отклонений, задаваемых по линейной форме, и до конечных амплитуд с выходом на одночастотное движение уже по нелинейной форме. Полученные аналитические выражения для частот нелинейных колебаний и соотношений амплитуд колебаний звеньев маятника для каждой из нелинейных форм сопоставляются с аналогичными численными зависимостями путем построения отвечающих им графических иллюстраций при одном и том же уровне полной механической энергии. Устанавливается, что аналитические и численные результаты находятся в согласии друг с другом, что определяет ценность построенного в работе приближенного решения. Полученные формулы и сделанные выводы представляют несомненный интерес в теоретическом отношении, а также они могут оказаться полезными и для их использования в конкретных практических целях.