Об ошибке приближения деревьями сценариев единичной глубины

Обозначим через $\Lambda_n$ множество всех деревьев сценариев глубины 1 с числом сценариев $n$ на $[0,1]$. Пусть $X=(0\le x_1<\dots<x_n\le1)$ и обозначим $\Lambda_n(X)$ множество всех деревьев сценариев глубиной 1 с $n$ сценариями $X=(0\le x_1<\dots<x_n\le1)$. Пусть $G$ есть вероятностное распределение, определенное на $[0,1]$, и $H$ – некоторый класс измеримых на $[0,1]$ функций. Положим $d_{H,X}(G)=\inf_{\tilde G\in\Lambda_n(X)}d_H(G,\tilde G)$ и $d_H(G)=\inf_{\tilde G\in\Lambda_n}d_H(G,\tilde G)$, где $d_H(G,\tilde G):=\sup_{h\in H}\left|\int h\,dG-\int h\,d\tilde G\right|$. Цель работы состоит в нахождении величин $d_H(G,X)$ и $d_H(G)$ для случая, когда множество $H$ есть подмножество всех алгебраических многочленов степени не выше $n$. Таким образом, мы рассматриваем задачу приближения меры $G$ деревом сценариев в смысле равенства первых $n$ моментов.