Мартингалы и теоремы Кантора–Юнга–Бернштейна и Валле-Пуссена

Во многих работах изучались вопросы единственности представления функций одномерными и кратными рядами по системе Хаара. Хорошо известно, что подпоследовательность частичных сумм ряда Хаара с номерами $2^k$ является мартингалом на некотором фильтрованном вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F}, (\mathcal{F}_k ), \mathbf{P})$. В нашей работе вводится понятие $\mathcal{U}$-множества для мартингалов и устанавливается ряд теорем единственности для мартингалов на произвольном компактном фильтрованном вероятностном пространстве. В частности, доказывается, что каждое множество $U \in \cup_{k=0}^\infty \mathcal{F}_k$ с $\mathbf{P} (U)=0$ является $\mathcal{U}$-множеством для мартингалов на компактном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_k ), \mathbf{P})$ (теорема типа Кантора–Юнга–Бернштейна). Приведенный результат дополняется рядом теорем типа Валле-Пуссена.