О сходимости последовательности операторов Бернштейна–Канторовича в пространствах Лебега с переменным показателем

Пусть $E=[0,1]$, $1\le p(x)$ — измеримая и существенно ограниченная на $E$ функция. Через $L^{p(x)}(E)$ обозначим множество измеримых на $E$ функций $f$, для которых $\int_{E}|f(x)|^{p(x)}dx<\infty$. Исследуется сходимость последовательности операторов Бернштейна–Канторовича $\{K_n(f,x)\}_{n=1}^\infty$ к функции $f$ в пространствах Лебега с переменным показателем $L^{p(x)}(E)$. Получены условия на переменный показатель, при которых указанная последовательность равномерно ограничена в этих пространствах и, как следствие, показано, что $K_n(f,x)$ при $n\to\infty$ сходится к функции $f$ в метрике пространства $L^{p(x)}(E)$ определяемой нормой $\|f\|_{p(\cdot)}=\|f\|_{p(\cdot)}(E)=\inf\left\{\alpha>0:\quad\int\limits_E\left|\frac{f(x)}\alpha\right|^{p(x)}dx\le1\right\}$.