Об $L^1$-сходимости рядов по мультипликативным системам

В статье устанавливаются два аналога тригонометрических результатов Гарретта–Станоевича для мультипликативных систем $\{\chi_n\}_{n=0}^\infty$ ограниченного типа. Во-первых, модифицированные частные суммы ряда $\sum\limits^\infty_{k=0}a_k\chi_k$ с коэффициентами ограниченной вариации сходятся в $L^1[0,1)$ к сумме ряда тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$, такое что
\begin{equation*} \int^\delta_0\left|\sum\limits^\infty_{k=n}(a_k-a_{k+1}) D_{k+1}(x)\right|\,dx<\varepsilon, \quad n\in\mathbb Z_+, \end{equation*}
где $D_{k+1}(x)=\sum\limits^k_{i=0}\chi_i(x)$. Во-вторых, если $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\ln(n+1)=0$ и $\sum\limits^\infty_{k=n}|a_k-a_{k+1}|\leq Ca_n$, $n\in\mathbb Z_+$, то ряд $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n\chi_n(x)$ сходится к своей сумме $f(x)$ в $L^1[0,1)$ тогда и только тогда, когда $f\in L^1[0,1)$.