Признак Дини–Липшица для обобщённых систем Хаара

B работе рассматриваются обобщённые системы Хаара, порождённые (вообще говоря, неограниченной) последовательностью $ \{ p_n \}_{n=1}^\infty $ и определённые на модифицированном отрезке $ [0, 1]^*$, т. е. на отрезке $[0, 1]$ c «раздвоенными» $ \{ p_n \}$ — рациональными точками. Основной результат данной работы — установление поточечной оценки между абсолютной величиной разности между непрерывной в заданной точке функции и её $n$-й частичной суммой Фурье и «поточечным» модулем непрерывности (это понятие (поточечный модуль непрерывности $ \omega_n (x, f)$) также определяется в данной работе) заданной функции. На основании этой «поточечной» оценки устанавливается равномерная оценка абсолютной величины разности между функцией и её частичными суммами Фурье и модулем непрерывности данной функции. Установлено также достаточное условие поточечной и равномерной ограниченности частичных сумм Фурье по обобщённой системе Хаара для заданной непрерывной функции. На основании этих оценок устанавливается признак сходимости ряда Фурье по обобщённой системе Хаара, аналогичный признаку Дини–Липшица. Показана также неулучшаемость полученного в работе условия. Для любых $ \{ p_n \}_{n=1}^\infty $ c $ \sup\limits_n p_n = \infty $ построен пример непрерывной на $ [0, 1]^* $ функции, ряд Фурье которой по обобщённой системе Хаара, порождённой последовательностью $ \{ p_n \}$, ограниченно расходится в некоторой фиксированной точке. Данный результат может быть применён и на нульмерных компактных абелевых группах.