Внешняя оценка компакта лебеговым множеством выпуклой функции

Рассматривается конечномерная задача о вложении заданного компакта $D\subset \mathbb{R}^p$ в нижнее лебегово множество $G(\alpha)=\{ y\in \mathbb{R}^p : f(y)\leqslant \alpha\}$ выпуклой функции $f(\cdot)$ с наименьшим значением $\alpha$ за счет смещения $D$. Ее математическая формализация приводит к задаче минимизации функции $\phi(x)=\max\limits_{y\in D}f(y-x)$ на $\mathbb{R}^p$. Исследованы свойства функции $\phi(x)$, получены необходимые и достаточные условия и условия единственности решения задачи. В качестве базового для приложений выделен случай, когда $f(\cdot)$ — калибровочная функция Минковского некоторого выпуклого тела $M$. Показано, что если $M$ — многогранник, то задача сводится к задаче линейного программирования. Предложен подход к получению приближенного решения, в котором при построении последовательности приближений $\{x_i\}_{i=0,1,\dots}$, зная приближение $x_i$, для получения $x_{i+1}$ требуется решить более простую задачу вложения компакта $D$ в лебегово множество калибровочной функции множества $M_i=G(\alpha_i)$, где $\alpha_i=\phi(x_i)$. Дается обоснование сходимости последовательности приближений к решению задачи.