New exact solutions for the two-dimensional Broadwell system

В статье рассмотрена дискретная кинетическая система Бродуэлла. Данная система является нелинейной гиперболической системой уравнений в частных производных. Двумерная система Бродуэлла представляет собой кинетическое уравнение Больцмана, и для этой модели импульс и энергия сохраняются. В кинетической теории газов система описывает движение частиц на двумерной плоскости, при этом правая часть системы отвечает за парные столкновения частиц. Впервые новые решения бегущей волны найдены с использованием метода $\exp(- \varphi(\xi)) $-разложения. Данные метод состоит в следующем. Решение ищется в виде бегущей волны. В этом случае система сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Далее решение ищется согласно данному методу в виде полинома по экспонентам (сумма ряда), зависящего от неизвестной функции, которая удовлетворяет определенному дифференциальному уравнению. При этом известны сами решения дифференциального уравнения. Суммирование ведется до конкретного положительного числа, которое определяется посредством баланса между наивысшими линейными и нелинейными членами. Далее предполагаемое решение подставляется в систему дифференциальных уравнений и собираются коэффициенты при одинаковых степенях экспонент. Решая системы алгебраических уравнений, мы находим неизвестные коэффициенты и записываем исходное решение. Данный метод является универсальным и позволяет получить большое число решений, а именно кинковые, сингулярные кинковые, периодические и рациональные решения. Соответствующие графики некоторых решений представлены посредством пакета «Математика». С помощью компьютерных символьных вычислений получены новые решения. Аналогичным образом можно найти точные решения для других кинетических моделей.