RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика // Архив

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика, 2023, том 23, выпуск 1, страницы 36–47 (Mi isu966)

Эта публикация цитируется в 2 статьях

Научный отдел
Математика

Новый подход к формированию систем линейных алгебраических уравнений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом коллокаций

Л. А. Севастьяновab, К. П. Ловецкийa, Д. С. Кулябовab

a Российский университет дружбы народов (РУДН), Россия, 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6
b Объединенный институт ядерных исследований, Россия, Московская область, 141980, г. Дубна, ул. Жолио-Кюри, д. 6

Аннотация: Реализован новый алгоритм численного решения одномерных задач Коши и уравнений Пуассона, основанный на методе коллокации и представлении решения в виде разложения по полиномам Чебышева. Предлагается вместо обычного подхода, заключающегося в слиянии всех известных условий  — дифференциальных (само уравнение) и начальных/ граничных  — в одну систему приближенных линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), перейти к методике решения задачи в несколько отдельных этапов. Вначале выделяются спектральные коэффициенты, определяющие «общее» решение исходной задачи. По методу коллокации определяются интерполяционные коэффициенты производной решения, а тем самым и коэффициенты разложения самого решения (кроме начальных). На этом этапе выбор удачного базиса, обладающего дискретной ортогональностью, дает возможность применения весьма эффективных алгоритмов поиска искомых коэффициентов. Трудоемкость приведения матрицы СЛАУ к диагональной форме становится эквивалентной сложности умножения чебышевской матрицы коэффициентов на вектор правой части системы. Затем коэффициенты разложения самого решения (кроме первых одного–двух) получаются с помощью умножения известной трехдиагональной матрицы интегрирования (обратной по отношению к матрице дифференцирования Чебышева) на вектор интерполяционных коэффициентов производной. На последнем этапе учет начальных/граничных условий выделяет «частное» искомое решение, однозначно доопределяя недостающие коэффициенты искомого разложения.

Ключевые слова: начально-краевые задачи, метод коллокации, многочлены Чебышева, множества Гаусса – Лобатто, численная устойчивость, дискретная ортогональность.

УДК: 517.98

Поступила в редакцию: 14.06.2022
Принята в печать: 26.09.2022

DOI: 10.18500/1816-9791-2023-23-1-36-47



© МИАН, 2024