О скорости интерполяции наипростейшими дробями аналитических функций с регулярно убывающими коэффициентами

Рассматриваются задачи кратной интерполяции по узлу $z=0$ аналитических в единичном круге функций $f(z)=f_0+f_1z+\dots$ посредством наипростейших рациональных дробей (логарифмических производных алгебраических многочленов) со свободными полюсами и с полюсами, лежащими на окружности $|z|=1$. Получены оценки остатков интерполяции при условии вида $|f_{m-1}|<C/\sqrt{m}$, $m=1,2,\dots$. Точнее, мы предполагаем, что модули коэффициентов Маклорена $f_m$ функции $f$ не превосходят соответствующих коэффициентов $\alpha_m$ в разложении $a/\sqrt{1-x}$ ($-1<x<1$, $0<a\le a^*\approx 0.34$) по степеням $x$. Для доказательства оценок используются конструкции наипростейших дробей Паде со свободными полюсами, разработанные В. И. и Д. Я. Данченко (2001), О. Н. Косухиным (2005), В. И. Данченко и П. В. Чунаевым (2011), и развитая автором статьи (2020) конструкция интерполирующих наипростейших дробей с полюсами на окружности. Наши теоремы дополняют и усиливают ряд результатов перечисленных работ. Используя свойства последовательности $\{\alpha_m\}$, удается доказать, в частности, что при ограничении $|f_m|\le \alpha_m$ все полюсы наипростейшей дроби Паде функции $f$ расположены во внешности единичной окружности.