Сравнение аналитического и численного решений задачи о цилиндрической оболочке с круговым отверстием под действием различных нагрузок

Представлены результаты вычислений поля напряжений цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием и находящейся под воздействием различных нагрузок: одноосного растяжения, внутреннего давления и кручения. Шесть упрощенных уравнений теории цилиндрических оболочек с большим показателем изменяемости (совпадающие с уравнениями теории пологих оболочек) сводятся к уравнению математической физики относительно потенциала напряжений, которое решается методом Фурье. Основным препятствием к получению ответа является необходимость поиска коэффициентов в разложении решения в сумму базисных функций, при которых это решение удовлетворяет граничным условиям. Также это уравнение зависит от параметра $\beta$, ответственного за отношение между геометрическими характеристиками оболочки и отверстия. С механической точки зрения для малых и средних отверстий этот параметр имеет ограничения $\beta \leq 4$, тaк как при бо́льших значениях отверстие считается больши́м, и для описания напряженно-деформированного состояния применяются общие уравнения теории цилиндрических оболочек. При этом детальное изучение классических работ привело к пониманию того, что ни один из до сих пор предложенных методов поиска коэффициентов нельзя считать окончательно удачным, а результаты, полученные этими методами, разнятся. Среди разнообразия работ советских и западных ученых 60–70-х гг. ХХ в. выделяются численные результаты инженера Ван Дайка, которые он получил методом коллокаций. В отличие от своих современников, раскладывающих решение в ряд по малому параметру $\beta$ и оттого получающих только результаты, близкие к плоскому случаю, Ван Дайк впервые опубликовал численные результаты для всего рабочего диапазона параметра $\beta$ в рамках рассмотрения малых и средних отверстий. В данной статье предложен новый подход, основанный на разложении базисных функций в ряд Фурье. Впервые удалось составить бесконечную систему линейно независимых уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов. Существенно, что предложенный метод, в отличие от известного метода малого параметра, не имеет математических ограничений и может применяться не только для значений параметра $\beta$, близких к нулю, а для любых значений. Ограничения вплоть до $\beta=4$ наложены механической моделью. Составлены системы для нахождения неизвестных коэффициентов при базисных функциях для трех типов нагрузок, проведено сравнение результатов, полученных авторами, с результатами, полученными численным методом. При этом если в большинстве источников приводятся только результаты вычисления окружных напряжений на границе отверстия, то в предлагаемой работе найдено поле напряжений для всей цилиндрической оболочки, возникающее ввиду наличия отверстия, в зависимости от полярных координат $(r,\theta)$.