Одна теорема об измеримых функциях

В статье доказывается, что отрезок $[0,1]$ оси $ox$ может быть взаимнооднозначно отображен на множестве $E$ оси $oy$ посредством функции $y=f(x)$, измеримой на отрезке $[0,1]$, тогда и только тогда, когда множество $E$ содержит совершенные части. Из этого следует, что существование множеств мощности континуума, не содержащих совершенной части, равносильно существованию множеств мощности континуума, на которое нельзя отобразить взаимнооднозначно отрезок посредством функций, измеримой на отрезке.