Оценка функции Лебега для интерполяционного процесса по корням полиномов Якоби

Введем обозначения: $P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$ – полиномы Якоби, ортогональные на [-1,1] по весу $(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$ и нормированные условием \[ P_n^{(\alpha,\beta)}(1)= \begin{pmatrix} n+\alpha
n \end{pmatrix}; \] $x_k$ – нули $P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$, расположенные в убывающем порядке;
$$ L_n(x)=\sum_{k=1}^n|l_k(x)|,\quad l_k(x)=\frac{P_n^{(\alpha,\beta)}(x)}{(x-x_k)P_n^{(\alpha,\beta)}(x)}. $$
Справедлива следующая
Теорема. Для $0\le x\le1$ будет \[ L_n(x)= \begin{cases} O(\ln n+|P_n^{(\alpha,\beta)}(x)|\sqrt n)& при \alpha\ge-\frac12,
O(\ln(2+n\operatorname{arccos}x))& при \alpha<-\frac12. \end{cases} \] Здесь $O(1)$ зависит только от $\alpha$ и $\beta$ и не зависит от $x$ и $n$.