Эта публикация цитируется в
1 статье
Об устойчивости решений одного класса линейных разностных уравнений
И. И. Мармерштейн г. Одесса
Аннотация:
Рассматривается устойчивость решений системы разностных уравнений вида
$$
\begin{cases}
\Delta_1^ky(t_1,t_2)-\sum_{i=1}^{k-1}P_i\Delta_1^iy(t_1,t_2)-\sum_{j=0}^mQ_j\Delta_2^jy(t_1,t_2)=f(t_1,t_2),
\\
y(t_1,t_2)=0\quad
при 0\le t_1<k\delta_1
\end{cases}\eqno{(1)}
$$
где
$$
\Delta_1y(t_1,t_2)=\frac{y(t_1+\delta_1,t_2)-y(t_1,t_2)}{\delta_1},\quad\Delta_2y(t_1,t_2)=\frac{y(t_1,t_2+\delta_2)-y(t_1,t_2)}{\delta_2}.
$$
Здесь
$y(t_1,t_2)$ — искомая,
$f(t_1,t_2)$ — заданная вектор-функция, значения которых принадлежат некоторому конечномерному комплексному пространству. Операторные коэффициенты попарно перестановочны. Область изменения независимых переменных
$0\le t_1$,
$t_2<0$.
Основной результат. Пусть
$p_i$ (
$i=1,2,\dots,k-1$),
$q_j$ (
$j=0,1,2,\dots,m$) — любой набор собственных чисел операторов
$P_i$ (
$i=1,2,\dots,k-1$) и
$Q_j$ (
$j=0,1,2,\dots,m$), принадлежащих собственным векторам из общих инвариантных подпространств. Рассмотрим семейство алгебраических уравнений
$$
\lambda^k-\sum_{i=1}^{k-1}p_i\lambda^i-\sum_{j=0}^mq_j\alpha^j=0\eqno{(2)}
$$
$\biggl(\alpha$ пробегает замкнутый круг $\biggl|z+\frac1{\delta_2}\biggr|\le\frac1{\delta_2}\biggr)$.
{\em Для того чтобы в задаче (1) каждой ограниченной правой части
$f(t_1,t_2)$ соответствовало ограниченное решение
$y(t_1,t_2)$, необходимо и достаточно, чтобы все корни семейства уравнений (2) лежали внутри круга $\biggl|z+\frac1{\delta_1}\biggr|<\frac1{\delta_1}$.
УДК:
517.917
Поступила: 04.04.1967