Об отыскании характеристического множества в некоторых специальных случаях

Пусть $\pi_n(z)$ — полином, наименее уклоняющийся от нуля на заданном множестве $B$ среди полиномов $P_n(z)=\sum_{k=0}^nc_kz^k$ коэффициенты которых удовлетворяют линейной зависимости $\sum_{k=0}^4c_k\lambda_k=1$. В статье рассматривается: I) для случая, когда $B$ есть круг $|z|\le1$, критерий того, что $\pi_n(z)=\frac1{\lambda_p}z^p$, $0\le p\le n$. При выполнении этого критерия приводится способ отыскания характеристического множества; II) для произвольного $B$ — условие, необходимое для существования характеристического множества, число точек которого не превосходит $\bigl[\frac n2\bigr]$. Если это условие выполнено, приводится способ отыскания множества $\{z_j\}_1^m$, $1\le m\le\bigl[\frac n2\bigr]$ такого, что имеет место альтернатива: или это множество характеристическое, или всякое характеристическое множество состоит более чем из $\bigl[\frac n2\bigr]$ точек. Решается также следующая задача: среди тригонометрических полиномов $T_n(t)=\sum_{k=0}^n(a_k\cos kt+b_k\sin kt)$ порядка не выше $n$ с двумя закрепленными коэффициентами $a_k$ и $b_k$ найти полином, наименее уклоняющийся от нуля на $[-\pi,\pi]$. Доказано, в частности, что величина наименьшего уклонения равна $\frac{l+1}2\sqrt{a_k^2+b_k^2}\operatorname{tg}\frac\pi{2(l+1)}$, где $l=\bigl[\frac{n+h}{2h}\bigr]$.