О связности полной гладкой поверхности со взаимно однозначным сферическим изображением

Рассматривается топологическое строение полных незамкнутых седловых гладких (класса $C^1$) поверхностей $F$ без самопересечений со взаимно однозначным сферическим изображением. Для таких поверхностей доказано, что их связность не более двух, т.е. они гомеоморфны плоскости или бесконечному круговому цилиндру. Этот результат в случае, когда $F$ — регулярная (класса $C^2$) поверхность, получен ранее А. Л. Вернером. В связи с доказательством нашего утверждения изучено также строение плоских сечений полных незамкнутых гладких поверхностей, а также установлена связь между числом касательных плоскостей к такой поверхности в данном пучке параллельных плоскостей и числом уходов на бесконечность в сечениях этой поверхности плоскостями из данного пучка.