Признаки ограниченности решений одной смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения II порядка в банаховом пространстве

Рассматривается краевая задача
\begin{gather*} \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}-A\frac{\partial z}{\partial y}-B\frac{\partial z}{\partial x}-Cz=f(x,y),\tag1 \\ z|_{\substack{y=0\\x\ge x_0}}=z|_{x=\psi(y)}=0\tag{1'} \end{gather*}
$z(x,y)$, $f(x,y)$ — вектор-функции со значениями в банаховом (комплексном) пространстве $E$; $A$, $B$, $C$ — линейные ограниченные операторы в $E$; $\psi(y)$ — непрерывно дифференцируемая функция на полуоси $y\ge0$; $\psi(0)=0$; $x_0=\inf\limits_{y\ge0}\psi(y)$; $f(x,y)$ предполагается заданной и непрерывной в области $\Pi\cup L$, где $\Pi\{x\ge\psi(y),\ y\ge0\}$, $L$ — совокупность точек вида $(\psi(y),t)$, $0\ge t\ge y$. Ищутся условия, при которых всякой ограниченной в $\Pi\cup L$ правой части $f(x,y)$ отвечает ограниченное там же решение краевой задачи (1)–(1').
Полученные признаки ограниченности и оценка роста решения обобщают (в сторону достаточности) критерий устойчивости по Ляпунову решений краевой задачи Гурса для уравнения (1), принадлежащий М. А. Рутману (получен для более общего линейного уравнения $n$-го порядка со «старшим членом» и «медленно меняющимися» коэффициентами (см. ДАН СССР, т. 147, № 4, 1962)). Получил дальнейшее развитие метод исследования устойчивости, построенный М. А. Рутманом в указанной выше работе и дополненный автором в связи с изучением устойчивости по Ляпунову решений задачи Коши для уравнения (1) (см. ДАН СССР, т. 163, № 5, 1965).