О наилучшем среднеквадратическом приближении многочленами и целыми функциями конечной степени функций, имеющих алгебраическую особую точку

Пусть $E_n(f)_{L_2}=\inf\limits_{c_k}(\inf_{-1}^1|f(x)-\sum_{k=0}^nc_kx^k|^2\,dx)^{1/2}$ — наилучшее приближение функции $f(x)$ алгебраическими многочленами степени $\le n$, $A_\sigma(f)_{L_2}=\inf\limits_{g_\sigma}(\int_{-\infty}^\infty|f(x)-g_\sigma(x)|^2\,dx)^{1/2}$ — наилучшее приближение функции $f(x)$ на $(-\infty,\infty)$ целыми функциями степени $\le\sigma$. Доказывается, что $\bigl(r>\frac12\bigr)$
\begin{gather*} \lim_{n\to\infty}n^{r-1/2}E_n[(a|x|+bx)|x|^{r-2}]_{L_2}=\frac{2\Gamma(r)\sqrt{a^2\cos^2\frac{\pi r}2+b^2\sin^2\frac{\pi r}2}}{\sqrt{\pi(2r-1)}}, \\ A_\sigma[(a|x|+bx)|x|^{r-2}]_{L_2}=\frac{2\Gamma(r)\sqrt{a^2\cos^2\frac{\pi r}2+b^2\sin^2\frac{\pi r}2}}{\sqrt{\pi(2r-1)}\sigma^{r-1/2}}. \end{gather*}