О двухэлементных базисах симметрической группы

С. Пикар доказала, что для любого отличного от единицы элемента $a$ симметрической группы $n$-й степени $\sigma_n$ ($n>4$) существует элемент $b\in\sigma_n$ такой, что $a$ и $b$ порождают $\sigma_n$. Автором заметки был получен более общий результат: для любых двух отличных от единицы элементов $a^{(1)}$ и $a^{(2)}$ группы $\sigma_n$ ($n>4$) существует элемент $b\in\sigma_n$ в такой, что каждая из пар $a^{(1)},b$ и $a^{(2)},b$ порождает $\sigma_n$. Рассматривается также следующий вопрос: каково наибольшее число $k$, такое, что для любых $k$ отличных от единицы элементов $a^{(1)},a^{(2)},\dots,a^{(k)}$ симметрической группы $n$-й степени $\sigma_n$ существует элемент $b\in\sigma_n$ такой, что каждая из пар $a^{(l)},b$ порождает $\sigma_n$? Доказывается, что при четном $n$ $k=2$ и при нечетном $n$ $k=3$.