Условия финитной аппроксимируемости естественно линейно упорядоченных коммутативных полугрупп

Доказываются сформулированные ниже условия финитной аппроксимируемости естественно линейно упорядоченных коммутативных (е. л. у. к.) полугрупп. Рассматриваются лишь коммутативные полугруппы. Будем говорить, что е. л. у. к. полугруппа $S$ обладает свойством $(*)$, если из того, что $ax=bx$, $a$, $b\in S_\alpha$, $x\in S_\beta$, где $\beta<\alpha$, следует $a=b$ ($S_\alpha$, $S_\beta$ — архимедовы компоненты полугруппы $S$).
Теорема 1. Для того чтобы е. л. у. к. полугруппа $S$ была финитно аппроксимируема, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие три условия:
1) полугруппа $S$ обладает свойством $(*)$;
2) если $S_\alpha^2=S$, то полугруппа $S_\alpha$ с сокращением;
3) если для элемента $a\in S_\alpha$ найдется элемент $b\in S_\beta$ такой, что $b\ne a$ и для любого натурального $n$ в $S$ разрешимо уравнение $a=bx^n$, то $a$ — идемпотент.
Теорема 2. Для того чтобы е. л. у. к. полугруппа $S$, все архимедовы компоненты которой отличны от своего квадрата, была финитно аппроксимируема, необходимо и достаточно, чтобы она обладала свойством $(*)$.