К теореме Рисса–Неймана

Изучаются самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве $H$ с точки зрения теории полуупорядоченных пространств, что приводит к новому доказательству теоремы Рисса–Неймана о характеристическом свойстве функций от самосопряженного оператора. Ранее эти вопросы рассматривались Б. 3. Вулихом и В. Д. Любовиным для случая сепарабельного $H$. В сильно замкнутом кольце $\mathfrak A$ ограниченных, самосопряженных операторов, являющемся, как известно, $K$-пространством с 1, выясняется связь между сильной сходимостью и сходимостью по упорядочению в предположении счетности типа $\mathfrak A$. Hа основе этого доказывается сильная замкнутость функций от оператора $A$. В общем случае используется аппарат обобщенных функций от элементов $K$-пространства, введенный ранее автором, и доказывается, что кольцо всех таких функций сильно замкнуто. Показывается, что любое расширение сильно замкнутого кольца $\mathfrak A$ реализуется с помощью множества операторов; как следствие получается теорема Рисса–Hеймана в произвольном $H$.