О некоторых граничных свойствах функций, осуществляющих конформные отображения

Пусть $G$ — односвязная область плоскости $z$, ограниченная спрямляемой кривой Жордана $C$. Через $\vartheta=\vartheta(s)$ обозначим угол, образуемый вещественной осью с касательной к $C$ в точке с дуговой координатой $s$. Функцию, однолистно и конформно отображающую единичный круг $D=\{w\colon|w|<1\}$ на область $G$, обозначим через $z=\Psi(w)$, а ей обратную — через $w=\Phi(z)$. Получено обобщение известной теоремы Келлога: если модуль гладкости $\omega_2(\vartheta^{(n)},t)$ не превосходит заданной мажоранты $\omega(t)$, удовлетворяющей некоторым условиям, то $\Psi^{(n+1)}(w)$ непрерывна на $\overline D$, и на $\gamma=\{w\colon|w|=1\}$
$$ w_2(\Psi^{(n+1)},t)\le A\biggl[\int_0^t\frac{\omega(u)}u\,du+t^2\int_t^l\frac{\omega(u)}u^3\,du\biggr]. $$
Аналогичный результат получен и для обратной функции. Приводится также зависимость модулей гладкости производных исследуемых функций от свойств модуля гладкости производной соответствующего порядка функции $z(s)$, где $z=z(s)$ — уравнение границы, области $G$.