Симметрические римановы пространства $V_4$

Данная статья является непосредственным продолжением моей статьи «Классификация римановых пространств $V_4$, допускающих поля ковариантно постоянных симметрических тензоров $T_{ij}$» (Тр. Казанск. авиац. ин-та, вып. 109, 1969). Доказывается
Теорема. {\em Для того чтобы $V_4$ допускали поля ковариантно постоянного тензора Эйнштейна, необходимо и достаточно, чтобы $V_4$ были 1) приводимыми неэйнштейновыми симметрическими: a) $V_4=V_2\times V_2$ типа $[(11)(11)]$ (тип пространства определяется типом характеристики $T_{ij}$); б) $V_4=V_3\times V_1$ типа $[(111)1]$, где $V_2$, $V_3$ — пространства постоянной кривизны; 2) неприводимыми: а) типа $[(2\mathring11)]$, несимметрическими и симметрическими ($g_{22}=Ax^{4^2}/2+Bx^4+C$), с метриками: A) $ds^2=2e_1\,dx^1dx^2+g_{22}x^{2^2}+2[(x^4+\varphi)^2\xi+\nu]\,dx^2dx^3+e_3(x^4+\varphi)^2\psi^2\,dx^{3^2}+e_2\,dx^{4^2}$, Б) $ds^2=2e_1\,dx^1dx^2+g_{22}dx^{2^2}+2(dx^4+\beta)\,dx^2dx^3+e_3\,dx^{3^2}+e_2\,dx^{4^2}$, где $A$, $B$, $C$, $\varphi$, $\psi$, $\xi$, $\nu$ — функции от $x^2$, $x^3$ и $\alpha$, $\beta$ — функции от $x^2$, соответственно удовлетворяющие дифференциальным условиям ($e_1,e_2,e_3=\pm1$); б) симметрическими неэйнштейновыми типа $[(2\mathring2)]$ сигнатуры нуль: $ds^2=2e_1dx^1dx^2+2g_{32}dx^3dx^4+g_{44}dx^{4^2}$, где $g_{44}=x^1\partial_2g_{32}+x^3\partial_4g_{31}+a_{44}(x^2,x^4)$, при $e_1=1$ $g_{34}=u\cos^2(x^2/\sqrt2+v)$, при $e_1=-1$ $g_{34}=u\operatorname{ch}^2(x^2/\sqrt2+v)$, $u$, $v$ — функции от $x^4$. Кроме 2 б), все остальные пространства произвольной сигнатуры. Потребовав от них сигнатуру пространства Минковского, получим полный класс полей тяготения с ковариантно постоянным тензором энергии-импульса, симметрических общего вида.