О точных верхних гранях последовательных производных многочлена на отрезке

Доказывается следующая
Теорема. {\em Если на отрезке $[-1,1]$ многочлен $P_n(x)$ степени $\le n$ удовлетворяет неравенству $|P_n(x)|\le|(\alpha x+i\sqrt{1-x^2})(\beta x+i\sqrt{1-x^2})|$, то при $1\le\alpha\le\beta$ и $n\ge\alpha+2$ справедлива такая оценка для производных $|P_n^{(k)}(x)|<\mu_n^{(k)}(1)$, $k=1,\dots,n$, где многочлен $\mu_n(x)$ определяется по формуле $\mu_n(x)=\operatorname{Re}\{(\alpha x+i\sqrt{1-x^2})(\beta x+i\sqrt{1-x^2})(x+i\sqrt{1-x^2})^{n-2}\}$}.