Представление обобщенных функций над пространством $K$ с помощью $A$-интеграла

Пусть $K$ — пространство бесконечно дифференцируемых функций, определенных в интервале $(-\infty,\infty)$. Под обобщенной функцией над пространством $K$ понимается произвольный линейный непрерывный функционал, определенный в $K$. Известно, что не каждая обобщенная функция является регулярной, т.е. не каждый линейный непрерывный функционал $f$ может быть задан формулой
$$ (f;\varphi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi(x)\,dx, $$
где $f(x)$ — некоторая суммируемая функция, а интеграл есть обычный интеграл Лебега (см. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними, гл. 1, § 1. М., 1959).
Доказывается, что каждой обобщенной функции $f$ можно поставить в соответствие действительную функцию $f(x)$, определенную на $(-\infty,\infty)$ (или, точнее, целый класс неэквивалентных между собой функций $f(x)$) таким образом, что для любой функции $\varphi(x)\in K$
$$ (f;\varphi)=(A)\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi(x)\,dx. $$

Настоящая заметка является продолжением работ автора (см. УМН, т. 19, № 2, 1964, с. 131–138; Сб. статей по математике, вып. 1, ч. 1. Челябинск, 1965, с. 46–57), в которых аналогичный результат устанавливается для обобщенных функций, определенных в основных пространствах $K(a)$ и $S$.