Обобщение теоремы Е. Титчмарша о целых функциях с отрицательными нулями

Е. Титчмарш доказал, что если $f(z)$ — целая функция порядка $p<1$, все нули которой отрицательны, имеет вполне регулярный рост (в. р. р.) на положительном луче, то $f(z)$ — целая функция в. р. р.
Статья посвящена обобщению этого результата на аналитические в угле функции с корнями на конечном числе лучей. Основной результат статьи таков: пусть $f(z)$ — аналитическая в угле $(\alpha,\beta)$ функция, которая в каждом угле, внутреннем к $(\alpha,\beta)$, имеет порядок $\rho<\infty$ и нормальный тип. Пусть все корни $f(z)$ лежат на лучах $\theta_1,\dots,\theta_k$, где $\alpha<\theta_1<\dots<\theta_k<\beta$. Обозначим $\theta_0=\alpha$, $\theta_{k+1}=\beta$; $\Gamma_j(\theta_j,\theta_{j+1})$, $j=0,\dots,k$. Если в одном из углов $\Gamma_j$ есть два луча, на которых $f(z)$ имеет в. р. р. относительно порядка $\rho$, а во всех остальных углах $\Gamma_j$ — хотя бы по одному такому лучу, то $f(z)$ имеет $\rho$-в. р. р. в каждом замкнутом угле, внутреннем к $(\alpha,\beta)$.