Применение полиномов Лежандра к приближенному вычислению кратных интегралов

В работе дается приближенная формула для вычисления интеграла
$$ I\equiv I(fg;[a,b;c,d])=\int_a^b\int_c^df(x,y)g(x,y)\,dxdy\eqno{(1)} $$
в котором $f(z,y)$ и $g(x,y)$ удовлетворяют определенным условиям. Пусть $\{X_p(u)\}_{p=0}^\infty$ — ортонормальная в $[-1,1]$ система полиномов Лежандра и берутся интегралы
$$ I(\varphi x^ly^p;[\alpha,\beta;\gamma,\delta])=\int_\alpha^\beta\int_\gamma^\delta\varphi(x,y)x^ly^p\,dxdy\quad(\varphi=f\text{ и }g), $$
где $l,p\ge0$ — целые, $0\le l\le r-1$, $0\le p\le s-1$, $a\le\alpha<\beta\le b$, $c\le\gamma<\delta\le d$. Тогда полагаем
\begin{multline*} I\approx\frac{4mn}{(b-a)(d-c)}\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{p=0}^{r-1}\sum_{q=0}^{s-1}\biggl\{\int_0^1\int_0^1g[\xi,c+\eta]\times \\ \times X_p(2u-1)X_q(2v-1)\,dudv\int_0^1\int_0^1f[\xi,c+\eta]X_p(2u-1)X_q(2v-1)\,dudv\biggr\},\tag2 \end{multline*}
где $\xi=a+(b-a)(l+u)/n$, $\eta=c+(d-c)(j+v)/m$, а $m$, $n$, $r$, $s\ge1$ — целые числа, при этом $r$, $s$ совпадают с порядком частной производной от $f(x,y)$ соответственно по $x$ и по $y$ (эти производные предполагаются кусочно непрерывными).
Устанавливается, что абсолютная погрешность формулы (2) не превосходит величины $(A/n^r+B/m^s)\|g\|_{L_{[a,b;c,d]}}$, где $A$ и $B$ — постоянные (предполагается, что $g\in L_{[a,b;c,d]}$).
Предлагаемый метод применим к интегралам любой кратности.