Представление $\sqrt N$ в виде однозвенно-периодических цепных дробей

Показано, что для $\sqrt N$ существуют разложения в однозвенно-периодические. правильные или полуправильные цепные дроби:
$$ x\sqrt N=y+\frac{(-1)^r}{2y}+\frac{(-1)^r}{2y}+\dots+\frac{(-1)^r}{2y}+\dots,\eqno{(1)} $$
где $x$ и $y$ — целые положительные числа, $r$ — четное или нечетное число. Цепные дроби вида (1) сходятся в $kp$ раз быстрее, чем обычные правильные цепные дроби с длиной периода $p$ ($k$ — целое положительное число). Указан способ получения цепных дробей вида (1) и приведены оценки погрешности приближения $\sqrt N$ такими цепными дробями.