Об одной теореме вложения

Ранее П. Л. Ульяновым и автором были найдены необходимые и достаточные условия вложения классов функций $H_{p,m}^{\omega^{(1)}(\delta)}\subset C([0,2\pi]^m)$, где $m$ — размерность пространства, а $p\ge1$. Однако они были фактически малосодержательны при $p\in[1,m]$.
Работа посвящена получению следующей нетривиальной теоремы вложения в случае $p\in[1,m]$: {\em чтобы всякая $f(x_1,\dots,x_m)\in H_{p,m}^{\omega^{(m+1)}(\delta)}\subset C([0,2\pi]^m)$ была эквивалентна непрерывной функции, необходимо и достаточно, чтобы $\sum_{n=1}^\infty n^{m/p-1}\omega^{(m=1)}(1/n)<\infty$}.