Об изоморфизмах структур $\alpha$-допустимых подгрупп абелевых групп без кручения

Рассматривается структура $L(G,\alpha)$ подгрупп абелевой группы без кручения $G$, инвариантных относительно инволютивного автоморфизма $\alpha$, т.е. автоморфизма, удовлетворяющего условию $\alpha^2=\varepsilon$, где $\varepsilon$ — тождественный автоморфизм. Доказана
Теорема. Пусть $G$, $G'$ — абелевы группы без кручения с инволютивными автоморфизмами $\alpha$ и $\alpha'$ соответственно и группа $G$ удовлетворяет уловию (*): если для некоторого $\lambda=\pm1$ в $G$ существуют элементы $g_i$, такие, что $\alpha g_i=\lambda g_i$, то среди них должно быть по крайней мере два независимых.
Тогда всякий изоморфизм структуры $L(G,\alpha)$ на $L(G',\alpha')$ индуцируется ровно двумя изоморфизмами группы $G$ на группу $G'$ при $\alpha=\pm\varepsilon$ и четырьмя — при $\alpha\ne\pm1$, Если условие (*) не выполняется, то существуют изоморфизмы $L(G,\alpha)$ на $L(G',\alpha')$, не индуцируемые изоморфизмами $G$ на $G'$.
Из этой теоремы следует решение вопроса о строгой структурной определяемое в классе квазигрупп без кручения с тождеством $(xy)z=(zy)x$ и левой единицей.