Исследования интерполяционных процессов, построенных при расширенных системах узлов Якоби

Пусть $C$ — множество непрерывных функций в $[-1,1]$, a $\{x_k^{(n+2)}\}_{k=0}^{n+1}$ — корни многочлена $(1-x^2)I_n^{(\alpha,\alpha)}(x)$, где $I_n^{(\alpha,\alpha)}(x)$ — ультрасферический многочлен Якоби степени $n$, $x_0^{(n+2)}=-x_{n+1}^{(n+2)}=1$. Через $H_n(f,x)$ и $M_n(f,x)$ обозначим многочлены соответственно степеней $2n+3$ и $2n+1$, однозначно определяющихся из условий
\begin{gather*} H_n(f,x^{(n+2)})=f(x_k^{(n+2)}),\quad H_n'(f,x^{(n+2)})=0,\quad k=0,1,2,\dots,n+1; \\ M_n(f,-1)=f(-1),\quad M_n(f,1)=f(1),\quad M_n(f,x_k^{(n+2)})=f(x_k^{n+2}),\quad k=1,2,\dots,n; \\ M_n'(f,x_k^{(n+2)}=0),k=1,2,\dots,n. \end{gather*}
Доказывается, что для любой $f\in C$ и любого $x\in[-1,1]$ при $\alpha\ge1/2$ $H_n(f,x)\to f(x)$, $n\to\infty$, а при $\alpha\ge1/2$ $M_n(f,x)\to f(x)$, $n\to\infty$, причем сходимость равномерная в $[-1+\varepsilon,1-\varepsilon]$, $0<\varepsilon<1$.