Некоторые соотношения, связанные с полугруппами операторов

Пусть $\{T(t),\,t\ge0\}$ — полугруппа операторов класса $(C_0)$, действующая в банановом пространстве $X$. Обозначим через $A$ инфинитезимальный производящий оператор полугруппы, а через $R(\lambda,A)$ — резольвенту оператора $A$.
Основной результат статьи: справедливы равенства
\begin{gather*} \int_0^\infty t^{\gamma-1}R\biggl(\frac tn,A\biggr)R\biggl(\frac t{n-1},A\biggr)\dots R\biggl(\frac t{n-m+1},A\biggr)A^mf\,dt= \\ =\Gamma(\gamma+1)\int_0^\infty u^{-\gamma-1}[T(u)-I]^m\sum_{k=m}^n{k-1\choose m-1}T[(k-m)u]f\,du= \\ =-\frac{\pi W(\gamma,m,n)}{\sin\gamma\pi}(-A)^\gamma f, \end{gather*}
$m-1<\gamma<m\le n$ ($n,m=1,2,\dots$), $f\in D(A^m)$, $W(\gamma,m,n)$ — постоянные, $(-A)^\gamma$ — дробная степень оператора $A$ в смысле Балакришнана.